\chapter{La Inferencia Estadística}

\section{Introducción}


En un sentido amplio, se entiende por Inferencia\index{Inferencia} a la
parte de la Estadística que estudia grandes colectivos a partir de
una pequeña parte de éstos. El conjunto de individuos que se
pretende analizar se denomina {\em población\index{Población}}, mientras que la
parte que sirve de apoyo para realizar dicho análisis se llama {\em
muestra\index{Muestra}}. Técnicamente la Inferencia consiste en, una vez estudiada
la muestra, proyectar las conclusiones obtenidas al conjunto de la
población. Por motivos obvios, la calidad del estudio que se
realice depende, por una parte, de la calidad de la muestra y, por
otra, del uso que de ella se haga. La primera de las cuestiones se
resuelve a través de la {\em Teoría de Muestras}\index{Teoría!de Muestras},
mientras que en la
segunda se utilizan las herramientas suministradas por la
Estadística Descriptiva y el Cálculo de Probabilidades.


A continuación se dan unas pinceladas que ayudan a comprender
algunos de los aspectos de la Teoría de Muestras. Su análisis en
profundidad escapa a nuestros objetivos, y resulta fuera de lugar
debido a su gran extensión y complejidad.


\begin{enumerate}
\item Ante todo, una muestra debe ser suficientemente representativa
de la población de la cual ha sido extraída, tratando de reflejar lo
mejor posible las particularidades de ésta. Las partes de la citada
población que no estén debidamente representadas en la muestra
llevan a la aparición de sesgos\index{Sesgo} o errores sistemáticos que viciarán
el proceso de la Inferencia desde el origen. Para alcanzar buenos
niveles de representatividad existen distintos tipos de muestreo
que, de forma suscinta, se repasan posteriormente.

\item La segunda de las condiciones que se pide a una muestra, es que a
través de ella se alcancen unos objetivos de precisión fijados de
antemano. Esta condición tiene que ver con el hecho de que, al no
hacerse un estudio exhaustivo, existen márgenes de error en el
cálculo de las características de la población, en la determinación
de la estructura probabilística de ésta, etc. Mayores niveles de
precisión exigirán una mayor información sobre la población, es
decir, un mayor {\em tamaño muestral} \index{Tama\~no muestral}
(número de elementos que componen la muestra).
\end{enumerate}


\section{Clasificación de los procedimientos inferenciales}

En primer lugar, se ha de hacer notar que la población va a venir
representada por una variable aleatoria con una determinada
distribución de probabilidad. Dependiendo del grado de conocimiento de ésta se
distinguen dos métodos para realizar el proceso inferencial:

\begin{enumerate}
\item {\em Inferencia paramétrica\index{Inferencia!paramétrica}}.
Es aquella en la que se admite que la distribución de la población
pertenece a una cierta familia  paramétrica de distribuciones,
siendo necesario únicamente precisar el valor de los parámetros
para determinar la distribución poblacional.
\item {\em Inferencia no paramétrica\index{Inferencia!no paramétrica}}.
No supone ninguna distribución de probabilidad de la población, exigiendo
sólo hipótesis muy generales, como puede ser la de simetría. A su
vez los procedimientos no paramétricos se pueden clasificar en:
\begin{enumerate}
\item Procedimientos de localización, que estudian los parámetros de
localización de la distribución. \item Procedimientos de
estructura, que analizan las condiciones que se dan en la
distribución de la variable. \item Procedimientos sobre las
condiciones de la muestra, que comprueban si se verifican las
hipótesis exigibles a los valores muestrales, como la
independencia, ausencia de valores a\-tí\-pi\-cos, etc.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Por su parte, la inferencia paramétrica puede ser estudiada desde dos enfoques
diferentes:
\begin{enumerate}
\item {\em Enfoque clásico}. En el cual los parámetros de la
distribución de probabilidad de la población se consideran constantes.
\item {\em Enfoque bayesiano}. Considera a los parámetros como
variables aleatorias, permitiendo introducir información sobre
ellos a través de la distribución a priori.
\end{enumerate}



\section{Naturaleza de la información extraída de la población}

La introducción se ha centrado en lo que se conoce como Teoría de
Muestras. Sin embargo, con el objeto de obtener una visión más
global del proceso inferencial, se distinguen dos procedimientos
para la obtención de información. En el primero, dicha información
se obtiene de forma aséptica, con el sólo propósito de observar las
unidades muestrales, y en el segundo, se establecen las condiciones
en las cuales se procederá a la medición de lo que se conoce como
unidades experimentales. Formalmente, dicha distinción implica dos
categorías, la primera de ellas, como ya ha quedado de manifiesto,
supone el encontrarse dentro de la Teoría de Muestras,\index{Teoría!de Muestras}
mientras que la segunda se conoce como
{\em Diseño de Experimentos}.\index{Dise\~no! de experimentos}


La Teoría de Muestras, en primer lugar necesita establecer los
protocolos que se deben respetar para alcanzar los niveles de
representatividad y precisión prefijados; a ésto se le llama {\em
diseño muestral\index{Dise\~no!muestral}},  que conduce a una
{\em muestra potencial}\index{Muestra!potencial}.
Una vez realizado dicho diseño, se procede a la obtención
de una o varias {\em muestras}
mediante la observación, la medición o la
encuestación. Estas alternativas están directamente relacionadas
con la naturaleza de los datos: atributos,
variables continuas, discretas o de clase, ordenadas o no.


El Diseño de Experimentos, por su parte, fue creado por
\mbox{Fisher} en la década de 1920 y en sus orígenes tuvo una clara
aplicación al mundo agrícola, relacionando las condiciones en las
que se realizaban los cultivos, que constituyen los denominados
{\em factores}, con la producción obtenida, {\em variable
dependiente}. El campo de aplicación se ha ido extendiendo con el
paso de los años, teniendo en la actualidad una aplicación
generalizada en la mayoría de los campos científicos. En cualquier
caso, en lo que sigue no se considera como objeto de análisis, con lo
cual los estudios que a continuación se llevan a cabo se restringen
a la Teoría de Muestras.

Antes de continuar, es necesario aclarar algunas cuestiones de
vital importancia para entender el desarrollo teórico que aquí se
presenta.
\begin{itemize}
\item Cuando se plantea realizar un estudio inferencial se debe realizar
un diseño muestral. Esto implica que cada elemento de la muestra
potencial es una variable aleatoria unidimensional, mientras que la
muestra es un vector aleatorio de dimensión el tamaño de ésta.
Además, no debe confundirse el individuo físico con la
característica o características que se desean estudiar de éste.
\item Cuando de cada individuo se estudia una única característica se
habla de análisis univariable o univariante, cuando se estudian dos,
bivariable o bivariante y cuando se consideran más de dos,
multivariable o multivariante. En lo que sigue, se considerará un
análisis univariable.
\item Una muestra de tamaño $n$ será denotada por $(X_1,\ldots ,X_n)$ o
bien, por $\underline{X}$. Cada $X_i$, con $i=1,\ldots ,n$, es una
variable aleatoria que representa la característica bajo estudio
del elemento $i$-ésimo de la muestra. Cuando las mediciones se
hayan llevado a cabo, es decir, una vez realizado el muestreo los
resultados obtenidos se denotan por $(x_1,\ldots ,x_n)$ o bien, por
$\underline{x}$.
\end{itemize}


\section{Razones que justifican un estudio inferencial}


La realización de un estudio inferencial se justifica por distintas
circunstancias, entre las que destacan las siguientes:
\begin{itemize}
\item Por motivos presupuestarios. La realización de un estudio
a través de muestras supone un ahorro tanto de dinero como de tiempo.
Imagínese el tiempo y dinero que supondría realizar un estudio sobre
la altura media de la población de Andalucía.

\item A veces no todos los elementos de una población están localizables.
En el ejemplo anterior puede ocurrir que haya personas nacidas en
Andalucía que vivan en otras comunidades.

\item En ocasiones la población tiene un gran número de elementos,
pudiendo ser ésta potencialmente infinita. Considérense, por ejemplo,
poblaciones cuyos elementos se obtienen a partir de
la realización de un experimento aleatorio, como la tirada de un dado
o la contabilización del número de
clientes que utilizan un cierto servicio en un tiempo fijo.

\item Existen situaciones en las que cuando se analiza un
elemento éste queda inutilizable o destruido. Si se quiere
comprobar la calidad del vino de una cierta cosecha, un análisis
completo llevaría a la desaparición de la población. Bastaría tomar una
medición en cada tonel o conjunto de éstos.

\item Por motivos de precisión. Aunque parezca
contradictorio, a veces un análisis total, implica el que se
cometan errores graves en la medición,
codificación, resumen, etc., cuestiones que pueden ser mucho mejor
controladas utilizando un estudio a
partir de una muestra. Por otro lado, es mucho más fácil formar y
controlar a un pequeño número de
medidores--observadores--encuestadores, que a un gran número de éstos.
\end{itemize}


\section{Tipos de muestreo}


A continuación se establece una primera clasificación de los tipos de muestreo
que es comúnmente aceptada en la Estadística:
\begin{enumerate}
\item Muestreo probabilístico o aleatorio\index{Muestreo!aleatorio}.
Es aquel en el que a priori se conoce
la probabilidad de que cada uno de los elementos de la población
pertenezca a la muestra.
\item Muestreo opinático\index{Muestreo!opinático}. Es aquel en
el que el muestrador decide subjetivamente los individuos que compondrán la muestra.
\item Muestreo sin norma\index{Muestreo!sin norma}.
Es aquel en el que se toma como muestra un trozo de la
población por razones, en general, de comodidad.
\end{enumerate}


La ventaja del muestreo aleatorio es que pueden determinarse los
errores que se cometerán en el proceso inferencial, siendo el único
que interesa desde el punto de vista estadístico. El muestreo
opinático se justifica en función del conocimiento que se tenga de
la población bajo estudio. Finalmente, el muestreo sin norma puede
utilizarse como una primera aproximación a una población de la que
no se dispone de información alguna.


A continuación, el estudio se centra en el muestreo probabilístico.
Se distinguen, de forma poco exhaustiva, las
siguientes variedades:
\begin{enumerate}
\item Muestreo aleatorio simple con reemplazamiento.\index{Muestreo!aleatorio simple!con reemplazamiento}
Es aquel en el que todas las unidades poblacionales
tienen la misma probabilidad de pertenecer a la muestra,
pudiendo medirse varias veces
el mismo individuo. Las variables aleatorias que componen una
muestra obtenida a través
de este procedimiento son independientes e idénticamente distribuidas.

\begin{ejemplo}
En una urna se tienen $100$ bolas: $60$ bolas rojas, $25$ bolas
blancas y $15$ bolas amarillas. Se extraen de la misma (con
reemplazamiento) dos de ellas. Para averiguar cuál es la
probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda roja,
se definen los sucesos
\begin{myeqnarray*}
B_1 &=&\mbox{\{sacar la primera bola blanca\}}\\
R_2 &=&\mbox{\{sacar la segunda bola roja\}}.
\end{myeqnarray*}
Puesto que hay reemplazamiento, sacar bola blanca y sacar bola roja
son sucesos independientes, con lo cual,
\begin{myeqnarray*}
P(B_1\cap R_2)= P(B_1) P(R_2)=\frac{25}{100}\frac{60}{100}.
\end{myeqnarray*}
\end{ejemplo}


\item Muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento.\index{Muestreo!aleatorio simple!sin reemplazamiento}
Igual que en el caso anterior todos
los individuos tienen idéntica probabilidad de pertenecer a la muestra, pero los individuos
no pueden seleccionarse varias veces. En este caso, las variables aleatorias que componen
la muestra no son independientes.

\begin{ejemplo}
En el caso del ejemplo anterior, si se extraen  de nuevo dos bolas de la urna pero esta vez sin
reemplazamiento, la probabilidad de extraer primero una bola blanca
y luego una roja es
\begin{myeqnarray*}
P(B_1\cap R_2)=P(B_1)P(R_2/B_1)=\frac{25}{100}\frac{60}{99}.
\end{myeqnarray*}
\end{ejemplo}


 \item Muestreo estratificado.\index{Muestreo!estratificado} Este tipo de
muestreo se basa en la
especificación de subpoblaciones o {\em estratos\index{Estratos}} conteniendo
elementos parecidos entre sí. La composición de la muestra se distribuye
entre los distintos estratos mediante un
procedimiento que recibe el nombre de afijación.\index{Afijación}
Existen principalmente tres tipos de afijación:
\begin{enumerate}

\item Uniforme.\index{Afijación!uniforme} En la muestra habrá el mismo número de representantes
de cada estrato. Es decir, si existen $k$ estratos y el tamaño de
la muestra es $n$, se extraerán, aproximadamente $\frac{n}{k}$
elementos de cada estrato.
\begin{ejemplo}
En una empresa hay seis categorías diferentes de trabajadores,
cada una con un  número similar de empleados y con varianzas parecidas
para la variable salario. Si se quiere tomar una
muestra de $60$ individuos para estudiar el salario medio de los
trabajadores, habría que tomar de cada categoría $\frac{60}{6}=10$
trabajadores.
\end{ejemplo}

\item Proporcional.\index{Afijación!proporcional} En la muestra habrá un número de representantes
de cada estrato proporcional a su tamaño. Es decir, si un estrato, $i$,
contiene $N_i$ elementos de los $N$ de la
población, le corresponderá un total de $\frac{N_i}{N}n$ elementos muestrales.
\begin{ejemplo}
Para realizar un estudio sobre una característica de una población de $1000$
habitantes, donde $600$ son hombres y $400$ mujeres, suponiendo que
la varianza de dicha característica sea similar para ambos sexos,
se debería tomar la muestra de manera que se mantuviera esa proporción, es decir,
que el $60\%$ de la muestra fuesen hombres y el $40\%$ fuesen mujeres.
\end{ejemplo}

\item Óptima.\index{Afijación!óptima} La asignación de unidades muestrales se hace teniendo en cuenta tanto el tamaño de los estratos
como su variabilidad, de forma que, un estrato más heterogéneo
necesita de más unidades muestrales, mientras que uno más homogéneo
se explica con un menor número relativo de elementos de la muestra.
Así, si $\sigma _i$ representa la desviación típica del estrato
$i$-ésimo, la asignación de unidades muestrales para dicho estrato
vendrá dada por $$n_i = n \frac{\sigma _i
N_i}{\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\sigma _j N_j}}. $$

\begin{ejemplo}
Se quiere realizar un estudio sobre el tiempo dedicado a la lectura
a la semana en una población de $1000$ habitantes. La siguiente tabla
refleja los porcentajes y desviaciones típicas de los grupos en los que
se divide la población.
\begin{myeqnarray*}
&\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mbox{Grupo}&\mbox{Edades}&f_i&\sigma_i\\ \hline
\mbox{1}&< 18&0'25&0'1\\
\mbox{2}& 19-35&0'40&0'3\\
\mbox{3}&36-55&0'20&0'5\\
\mbox{4}&>55&0'15&0'1\\
\hline
\end{array}&\end{myeqnarray*}
Se decide tomar una muestra de 600 habitantes, de manera que de cada grupo,
dado que $\sum_{i=1}^4\sigma_i N_i=260,$
habrá que tomar:
\begin{myeqnarray*}
n_1&=&600\frac{250\cdot 0'1}{260}=60\\
n_2&=&600\frac{400\cdot 0'3}{260}=276\\
n_3&=&600\frac{200\cdot 0'5}{260}=228\\
n_4&=&600\frac{150\cdot 0'1}{260}=36.
\end{myeqnarray*}
\end{ejemplo}

\end{enumerate}

Como propiedad a destacar, hay que señalar que el muestreo
estratificado permite un estudio diferenciado para cada estrato.


\item Muestreo por áreas o conglomerados.\index{Muestreo!por conglomerados}
En este caso se trata de establecer
grupos de elementos físicamente próximos entre ellos,
frecuentemente constituidos por una partición geográfica de la
población.

Se puede observar que las ideas que subyacen en el
muestreo estratificado y por conglomerados son opuestas, ya que los
elementos de la población que pertenecen al mismo estrato son
homogéneos entre sí y heterogéneos con el resto de los estratos,
sin embargo, los conglomerados son homogéneos entre ellos
y heterogéneos internamente.

La característica principal del muestreo por áreas es que permite
limitar la toma de muestras a un conjunto de áreas que representen
al resto.

\begin{ejemplo}
Se quiere realizar un estudio sobre cuánto gastan las familias españolas
al año. Para sim\-pli\-fi\-car el problema que supone obtener las listas
de toda la población, se eligen aleatoriamente algunas provincias como
re\-pre\-sen\-tan\-tes del conjunto de ellas, de las cuales se obtendrá la muestra deseada.
\end{ejemplo}

\end{enumerate}

Además de los anteriores que tienen un uso generalizado, existen
una gran cantidad de procedimientos para muestrear que pretenden
adaptarse de la mejor manera a las circunstancias de la población
bajo estudio. A modo ilustrativo destacan los muestreos: {\em
sistemático\index{Muestreo!sistemático}}, en el que selecciona una de cada $k$ unidades
ordenadas; {\em polietápico\index{Muestreo!polietápico}}, que es una generalización del de
áreas; {\em bifásico\index{Muestreo!bifásico}}, en el que se parte de una muestra grande que
permita reconocer las características más acentuadas de la
población, al objeto de poder definir un diseño más fino, etc.

Tanto en el caso de muestreo estratificado como en el de áreas y en
cualquier otro muestreo probabilístico, la última etapa del
muestreo implica la realización de un muestreo aleatorio simple;
ello justifica el hecho de que en lo que sigue sólo se consideren
muestras aleatorias simples,\index{Muestra!aleatoria simple} (m.a.s.).
\index{m.a.s.\see{Muestra aleatoria simple}} En concreto, el tipo de
muestras aleatorias simples que van a ser analizadas a partir de
ahora son aquellas obtenidas de una población infinita o
de un muestreo aleatorio simple con reemplazamiento.
Esto supone que dada una muestra $(X_1,\ldots ,X_n)$ se tiene que:
\begin{itemize}
\item Las variables $X_i$, con $i=1,\ldots ,n$, tienen igual
distribución de probabilidad que la población de la cual se ha
extraído la muestra. Es decir, si $F$ es la función de
distribución de la población entonces
$$F_{X_i}=F,\quad i=1,\ldots ,n.$$

\item Las variables $X_i$, con $i=1,\ldots ,n$, son
independientes. Por tanto, si $F_{X_1,\ldots ,X_n}$ es la función
de distribución conjunta de la muestra, entonces
$$F_{X_1,\ldots ,X_n}(x_1,\ldots ,x_n)=\prod_{i=1}^n F_{X_i}(x_i)=
\prod_{i=1}^n F(x_i) .$$
\end{itemize}