\chapter{Contraste de hipótesis}

\section{Conceptos básicos}

Este capítulo  está dedicado al estudio de los contrastes de
hi\-pó\-te\-sis, sin lugar a dudas, la técnica más utilizada
para tratar problemas de Inferencia Estadística. En
primer lugar, con el objetivo de conseguir una primera aproximación
a la metodología empleada en los contrastes de hipótesis, se propone
un ejemplo, en el que de forma natural e intuitiva se van a usar
técnicas de resolución de dichos problemas que posteriormente se
justificarán desde un punto de vista teórico.

Este capítulo trata los contrastes paramétricos de una y dos
muestras, dejando para el tema siguiente los contrastes no
paramétricos.

\begin{ejemplo} El diámetro de un individuo adulto de una especie de
Estrella de Mar en una región surmediterránea está representado
por una variable X con distribución $N(\mu,1'3)$. Por estudios
realizados en otras zonas sobre animales de la misma especie se ha
estimado un diámetro medio de 7'4 cm. Interesa estudiar si nuestra
variable tiene el mismo comportamiento; es decir, si el diámetro
7'4 es válido para la región surmediterránea. Estadísticamente
tendríamos que elegir entre:
\begin{myeqnarray*}
\begin{array}{ccc} H_0: \mu= 7'4 & \mbox{y} & H_1: \mu\ne 7'4. \end{array}
\end{myeqnarray*}
$H_0$ se dice Hipótesis Nula, mientras que $H_1$ es la Hipótesis
Alternativa.

Para decidir entre una u otra se selecciona una muestra de 100
individuos y se analiza si la información que ésta ofrece es
compatible con $H_0$ o no.


Puesto que el parámetro bajo estudio es la media poblacional,
$\mu$, es lógico utilizar en el proceso inferencial su estimador
ideal, esto es, la media muestral, $\overline{X}$. A partir de
dicho estimador se establece un criterio de decisión: a groso modo,
si la diferencia entre $\overline{X}$ y $7'4$ es grande habrá que
rechazar $H_0$, actuando en sentido contrario si la diferencia es
pequeña. Debido a que la media muestral en poblaciones Normales
tiene una distribución $N(\mu,\sigma/\sqrt{n})$, la variable
\begin{myeqnarray*}
D &= &\displaystyle\frac{\overline{X} - 7'4}{1'3/\sqrt{100}}
\end{myeqnarray*}
sigue una distribución N(0,1), cuando $H_0$ es cierta.

A partir de esta variable aleatoria se debe precisar también lo que
se entiende por diferencias grandes, así como, acotar la
probabilidad de cometer errores cuando se realice la toma de
decisiones. Todo ello, se irá analizando a lo largo del presente
capítulo.

\end{ejemplo}


A continuación, se define lo que se entiende por hipótesis
estadística y contraste de hipótesis, observando que en la
literatura se pueden encontrar sinónimos de este último término tales como {\em
prueba estadística, test de hipótesis o dócima}.

\subsection{Las Hipótesis}

Una {\em hipótesis estadística}\index{Hipótesis estadística} es una afirmación o conjetura sobre
la distribución de una o más variables aleatorias, o bien, sobre
alguna característica de las mismas.

La hipótesis que se desea contrastar se denomina {\em Hipótesis
Nula\index{Hipótesis estadística!nula}}, mientras que la que se acepta
cuando la evidencia muestral
está claramente en contra de ésta se denomina {\em Hipótesis
Alternativa\index{Hipótesis estadística!alternativa}}.

Si se quisiera contrastar la hipótesis de que un cierto
pa\-rá\-me\-tro $\theta$ de una población toma un valor dentro de una
región $\Theta_0$ siendo $\Theta$ el campo de variación de dicho
parámetro, la Hipótesis Alternativa debe contemplar que el
parámetro tome valores en una región $\Theta_1$.

Cuando los subconjuntos $\Theta_0$ y $\Theta_1$ se componen de un
único elemento las hipótesis correspondientes se denominan {\em
simples\index{Hipótesis estadística!simple}} y, en caso contrario,
hipótesis {\em compuestas\index{Hipótesis estadística!compuesta}}.

Se define {\em contraste de hipótesis}\index{Contraste de hipótesis} como un
procedimiento inferencial consistente en rechazar o no, una
hipótesis de tipo estadístico sobre una población, teniendo en
cuenta la Hipótesis Alternativa y
la evidencia experimental proporcionada por una muestra
particular obtenida de dicha población.

En otras palabras, un contraste de hipótesis supone una partición
del espacio muestral en dos regiones, región de aceptación\index{Región!de aceptación}
y región crítica o de rechazo,\index{Región!crítica} de forma que
si la muestra considerada se encuentra
dentro de la región crítica se rechaza la Hipótesis Nula, mientras
que en el caso contrario  no se rechaza dicha hipótesis al no existir
evidencias para rechazarlas.

Debe tenerse en cuenta que el no rechazo de la Hipótesis Nula no
supone ninguna garantía de la certeza de ésta, sino la falta de
evidencia en contra de su veracidad. Se podría asimilar la
Hipótesis Nula a una persona que está siendo juzgada según el
principio de presunción de inocencia, de forma que sólo se rechaza
su inocencia, es decir, la Hipótesis Nula, en caso de encontrar
pruebas suficientes en contra.

A la vista de la definición, se podría decir que un contraste es
una regla de decisión, pero dado que a la hora de adoptar dicha
decisión y, como se verá en el desarrollo del capítulo, no se
estará a la misma distancia de ambas hipótesis, sino que se dará
mucho mayor crédito a la Hipótesis Nula, se trata más bien de una
regla de decisión--confirmación. Por ello, teniendo en cuenta el
desequilibrio entre las hipótesis, sólo se debería contrastar
aquello sobre lo que se tuviera una justificada sospecha de su
certeza.




\subsection{Clasificación de los contrastes}


Dependiendo del grado de conocimiento de la distribución de la
población bajo estudio, se distingue entre contrastes paramétricos
\index{Contraste de hipótesis!paramétrico} y no paramétricos.
\index{Contraste de hipótesis!no paramétrico}
En el caso de que dicha distribución sea
conocida salvo parámetros, los tipos de contrastes que se realizan
son del tipo paramétrico, siendo su objetivo intentar obtener información sobre
los parámetros desconocidos de la distribución de la población bajo
estudio. En el caso de que dicha distribución sea desconocida, los
contrastes son de tipo no paramétrico, siendo su objetivo intentar determinar
alguna característica de la población o de la muestra bajo estudio.

Puesto que los contrastes paramétricos utilizan más información que
los no paramétricos, ofrecen mejores resultados. Por ello, siempre
que sea posible se debe recurrir a los primeros.


\subsubsection{Tipos de contraste sobre parámetros}

En primer lugar, se distingue entre contrastes con Hipótesis Nula
y Alternativa simples y aquellos que tienen alguna de estas hipótesis compuestas.
En segundo lugar, dentro de estos últimos, dependiendo de la estructura de sus
hipótesis, se distingue entre los siguientes tipos de contrastes:
\begin{enumerate}
\item Contrastes bilaterales:\index{Contraste de hipótesis!bilateral}
en ellos se propone un valor
puntual para el parámetro bajo estudio, de forma que se rechazará
bien porque la evidencia muestral lleve a decidir que el valor es
mayor que el propuesto o bien que es menor. Formalmente:
$$\left\{
\begin{tabular}{c}
$H_0: \theta = \theta_0$\\ $H_1: \theta \ne \theta_0$
\end{tabular}\right.
$$
\item Contrastes unilaterales:\index{Contraste de
hipótesis!unilateral} en ellos se propone que el valor del
pa\-rá\-me\-tro se encuentre bien por debajo o bien por encima de
un cierto valor. Las dos situaciones se plantearían de la
siguiente forma:

$\hfill\left\{\begin{array}{c}H_0: \theta \geq \theta_0\\ H_1: \theta < \theta_0\end{array}\right.\hfill
\left\{\begin{array}{c}H_0: \theta \leq \theta_0\\ H_1: \theta > \theta_0\end{array}\right.\hfill
$

\end{enumerate}
Se puede observar que en todos los casos el signo igual está
incluido en la Hipótesis Nula, el motivo de ello se encuentra en
el enfoque que se va a utilizar para realizar el contraste.


\section{Los errores de un contraste}

A continuación y relacionado con la cuestión anterior, se detallan
las consecuencias derivadas de la decisión que se adopte sobre el
rechazo o no de la Hipótesis Nula. Antes de ello, véase el
siguiente ejemplo:


\begin{ejemplo}
Imagínese que se quiere contrastar la hipótesis de que un parámetro
de una población toma exactamente el valor 5, sobre lo cual se
tienen fundadas sospechas. Para ello, se dispone de una m.a.s.
de tamaño 100 extraída de dicha población, de
forma que la regla de decisión va a ser: si en la muestra hay al
menos 50 valores en el intervalo $[4'75,5'25]$ se admite la
Hipótesis Nula y si no es así se rechaza, concluyendo que el valor
del parámetro es distinto de 5.
\end{ejemplo}

 Tal como está planteado el contraste del ejemplo no viola
ninguna de las exigencias requeridas. Sin embargo, presenta ciertas
carencias, la principal de ellas es que no se puede dar ninguna
medida que garantice la bondad de la decisión adoptada.


%{\bf NOTA DE MANOLO SOBRE ESTE EJEMPLO: "El ejemplo no es bueno, la
%falta de capacidad para dar la medida del error proviene de la
%falta de información distribucional y no del método en sí mismo". }

\subsection{Actuaciones asociadas a un contraste de hipótesis}

El cuadro siguiente refleja las repercusiones que se derivan de la
decisión que se adopte en la realización de un contraste:
\index{Error!Tipo I} \index{Error!Tipo II}

\begin{tabular}{llcc}
 & &\multicolumn{2}{c}{\bf Decisión estadística}\\
 & &No rechazar $H_0$&Rechazar $H_0$\\ \cline{3-4}
{\bf Estado Real}& $H_0$
cierta&\multicolumn{1}{|c|}{Correcta}&\multicolumn{1}{c|}{Error
 tipo I}\\ \cline{3-4}
{\bf de la cuestión} & $H_0$ falsa&\multicolumn{1}{|c|}{Error tipo
 II}&\multicolumn{1}{c|}{Correcta}\\ \cline{3-4}
\end{tabular}

Trasladando a términos probabilísticos los resultados de las
actuaciones se tiene:\index{Nivel!de significación} \index{Nivel!de confianza}
\index{Potencia del contraste} \index{Riesgo del contraste}
{\arraycolsep .33ex
$$\begin{array}{ll}
P[\mbox{Rechazar }H_0/H_0 \mbox{ cierta}]&= \alpha,
\mbox{ se denomina \em nivel de significación}\\
&\quad \quad \mbox{{ \em del contraste}.}\\
P[\mbox{No rechazar } H_0/H_0 \mbox{ cierta}] &= 1-\alpha,
\mbox{ denominado \em nivel de confianza.}\\
P[\mbox{Rechazar } H_0/H_0 \mbox{ falsa}]&=  1-\beta, \mbox{ será la \em potencia
del contraste.}\\
P[\mbox{No rechazar } H_0/H_0 \mbox{ falsa}]&= \beta,
\mbox{ será el {\em riesgo del contraste}.}
\end{array}$$}

Puesto que en la práctica no se sabrá si la decisión adoptada es
correcta o no, habrá que elegir contrastes que minimicen las
probabilidades de error de tipo I y II. \index{Error!Tipo I}
Sin embargo, esto no es posible ya que
dichas probabilidades son, en cierto sentido, complementarias, ya que
cuando disminuye una aumenta la otra. Por ello, el criterio que se
utiliza es el de fijar el nivel de significación, eligiendo de
entre todos los test posibles con ese nivel de significación
aquel que haga mínimo el riesgo o, lo que es lo mismo, máxima la
potencia.


En general, la potencia del test dependerá de la realidad de la
situación, que será desconocida, por lo que lo ideal será utilizar,
si es que existe, el test denominado {\em uniformemente más
potente\index{Test!Uniformemente más potente}}, es decir, aquel que se comporta mejor que el resto en
cualquier situación.


Por último, la reducción simultánea de los dos errores, una vez
seleccionado el contraste a utilizar, sólo será factible si se
dispone de una mayor información, es decir, si se aumenta el tamaño
de la muestra.

\begin{ejemplo}
Sea $X$ una variable  con distribución Exponencial de parámetro
$\theta$. Se desea contrastar
\begin{myeqnarray*}
\left\{\begin{tabular}{c} $H_{0}: \theta = 1$\\ $H_{1}: \theta=2$
\end{tabular}\right.
\end{myeqnarray*}
Para realizar el contraste se toma como región de aceptación
para una muestra de tamaño 1 el intervalo $[0,T)$. Los errores
$\alpha$ y $\beta$ vienen dados por:
\begin{myeqnarray*}
\alpha &=& P[\mbox{Rechazar }H_0/H_0 \mbox{ cierta}] \\ &=& P[X\geq
T/\theta=1]\\ &=&\int_T^{+\infty} e^{-x} dx = e^{-T}
\end{myeqnarray*}
y por tanto $T = -\log \alpha$, mientras que
\begin{myeqnarray*}
\beta &=& P[\mbox{No rechazar } H_0/H_0 \mbox{ falsa}]\\ &=& P[0\leq
X\leq T/\theta=2]\\ &=&\int_0^{-\log \alpha} 2 e^{-2x} dx
\\ &=&1-e^{2\log \alpha}
\end{myeqnarray*}
con lo que la relación entre las probabilidades queda $\beta =
1-\alpha^2$, lo que significa que cuando uno crece el otro decrece
y viceversa.
\end{ejemplo}

\begin{ejemplo}
Sea $X$ una variable aleatoria que se distribuye según $N(\mu,1)$.
Se desea realizar el contraste
\begin{myeqnarray*}
\left\{\begin{tabular}{c} $H_{0}: \mu = 0$\\ $H_{1}: \mu = 3$
\end{tabular}\right.
\end{myeqnarray*}
La regla de decisión que se va a utilizar es la siguiente: { \em
si una muestra de tamaño 1 pertenece al intervalo
$(-\infty,2'575)$ no se rechaza $H_0$, en caso contrario se
rechaza}. Se procede a calcular el nivel de significación y la
potencia del test.
\begin{myeqnarray*}
\alpha &=& P[\mbox{Rechazar } H_0/H_0 \mbox{ cierta}]\\ &=& P[X\geq
2'575/\mu=0]\\ &=& P[Z\geq 2'575] = 0'005
\end{myeqnarray*}
mientras que
\begin{myeqnarray*}
1-\beta &=& 1- P[\mbox{No rechazar } H_0/H_0 \mbox{ falsa}]\\ & =&
1-P[X<2'575/\mu=3]\\ &=& 1- P[Z< -0'425] = 0'6646.
\end{myeqnarray*}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si en el ejemplo anterior se elige como región de aceptación
$(-3,2'69)$, entonces
\begin{myeqnarray*}
\alpha &=& P[(X\leq -3)\cup (X\geq 2'69)/\mu = 0]\\& =& P[Z\leq -3]
+ P[Z\geq 2'69]\\ \qquad &=& 0'0014 + 0'0036 = 0'005.
\end{myeqnarray*}
Es decir, el mismo nivel de significación que en el caso anterior,
mientras que
\begin{myeqnarray*}
1-\beta &=& 1 - P[-3< X < 2'69 / \mu =3] \\ &= &1- P[-6 < Z <
-0'31] = 0'6217.
\end{myeqnarray*}
Por tanto, si se ha de decidir entre los dos contrastes propuestos, puesto que
el nivel de significación es el mismo, se elegirá el primero al ser
más potente.
\end{ejemplo}


\section{El enfoque de Neyman--Pearson}

El enfoque de Neyman--Pearson proporciona un procedimiento para la
obtención de los test más potentes en el caso de que las hipótesis
consideradas (Nula y Alternativa) sean simples. Sin embargo,
desgraciadamente los resultados que se obtienen no siempre son
óptimos, debido a la complejidad de aplicación del método.


\subsection{Lema de Neyman--Pearson para hipótesis simples}

Sea $\underline{X}$ una m.a.s. extraída de una población
cuya distribución depende de un parámetro desconocido, $\theta$.
Para realizar el contraste
$$\left\{
\begin{tabular}{c}
$H_{0}: \theta = \theta_{0}$\\ $H_{1}: \theta = \theta_{1}$
\end{tabular}\right.
$$
se considera la función de verosimilitud de la muestra,
$L(\underline{X},\theta)$, en cada uno de los valores del parámetro que proporciona
cada hipótesis, es decir, $L(\underline{X},\theta_0)$, en la Nula y
$L(\underline{X},\theta_1)$ en la Alternativa. El lema de
Neyman--Pearson\index{Lema!Neyman--Pearson}
dice que la
región
    $$C = \left \{ \underline{X} \in \Omega \,| \, \frac{L(\underline{X},\theta_0)}{
L(\underline{X},\theta_1)}\leq K \right \}$$ tal que
    $$P[\underline{X}\in C /H_0] = \alpha$$
es de máxima potencia para el contraste anterior, a un nivel de significación $\alpha$.

Para determinar la constante $K$ y con ella la región crítica, se
puede considerar el estadístico $T(\underline{X}, \theta_0,
\theta_1)$, de manera que la región crítica $C$ vendría dada por
$$C = \left \{ \underline{X} \in \Omega \,| \,T(\underline{X},
\theta_0, \theta_1) \leq K_1 \right \}.$$ Así pues, conociendo
$\alpha$ o la potencia del test, se tiene que
\begin{eqnarray*}
\alpha = P[\underline{X}\in C/ H_0]& =&
P\left[\frac{L(\underline{X},\theta_0)} {L(\underline{X},\theta_1)}
\leq K \,/ \, H_0 \right]\\ & =& P[T(\underline{X}, \theta_0,
\theta_1)\leq K_1\, / \, H_0].
\end{eqnarray*}
La determinación de la constante puede hacerse en cualquier momento
de la cadena de igualdades, aunque la determinación de la
distribución del estadístico T, como ya se comentó al principio,
puede ser complicada.

\begin{ejemplo}
Se considera una m.a.s. de tamaño $n$ extraída de una distribución
$N(\mu,1)$ y se desea realizar el contraste
\begin{myeqnarray*}
\left\{\begin{tabular}{c} $H_{0}: \mu = 0$\\ $H_{1}: \mu = 1$
\end{tabular}\right.
\end{myeqnarray*}
Para ello se obtiene el cociente de verosimilitudes
\begin{myeqnarray*}
\frac{L(x_1,x_2,\cdots,x_n,0)}{L(x_1,x_2,\cdots,x_n,1)}&=&\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_1^2}{2}}\cdots\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_n^2}{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x_1-1)^2}{2}}
\cdots\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x_n-1)^2}{2}}} \\ \\  &=&
\fra{e^{-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2}}}{e^{\frac{-\sum_{i=1}^n
x_i^2 -2\sum_{i=1}^n x_i +n}{2}}}\\ \\ &=&
e^{-\sum_{i=1}^nx_i+\frac{n}{2}},
\end{myeqnarray*}
de forma que $C$ estará
formada por los puntos que verifiquen
\begin{myeqnarray*}
e^{-{\sum_{i=1}^n x_i} + \frac{n}{2}}& \leq& K,
\end{myeqnarray*}
tomando logaritmos
\begin{myeqnarray*}
-\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i }+\frac{n}{2} &\leq& \log K,
\end{myeqnarray*}
luego
 \begin{myeqnarray*}
 \displaystyle\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i}}{n} &\geq&
 \displaystyle -\frac{\log K}{n} +\frac{1}{2} = K_1.
\end{myeqnarray*}
Es decir, la región crítica es del tipo
$\overline{X}\geq K_1$.

\end{ejemplo}



\section{Metodología de Fisher para la realización de un contraste
paramétrico}
\markright{\hfill\thechapter.\thesection\ Metodología de Fisher...\ \ \ }

El enfoque de Neyman--Pearson se basa en el conocimiento de la
distribución del estadístico $T(\underline{X}, \theta_0,
\theta_1)$, pero no siempre se puede conocer dicha distribución.
Para esos casos donde no es posible aplicar Neyman--Pearson, se
plantea una metodología alternativa propuesta por Fisher que parte del conocimiento de
la estructura de probabilidad de la población bajo estudio y consta
de los siguientes pasos:
\begin{enumerate}
\item Definir la Hipótesis Nula a contrastar sobre el parámetro $\theta$
objeto de estudio, que puede concretarse en $H_0: \theta =
\theta_0$, lo que determinará la Hipótesis Alternativa, $H_1:
\theta \not= \theta_0$.
\item Dar una medida,
$d(\stackrel{\wedge}{\theta}(\underline{X}), \theta_0)$, de la
discrepancia entre la evidencia muestral, $\underline{X}$,
representada por el estimador de $\theta$,
$\stackrel{\wedge}{\theta}(\underline{X})$ y $H_0$, de tal forma
que $d$ tenga una distribución conocida cuando $H_0$ sea cierta.
\item
Tomar una muestra, obtener la estimación del parámetro,
$\stackrel{\wedge}{\theta}(\underline{x})$, y calcular $d_0 =
d(\stackrel{\wedge}{\theta}(\underline{x}), \theta_0)$.
\item Si $d_0$ es muy grande, es decir, si $P[d\geq d_0]$ es muy pequeña,
menor que $\alpha$, se rechaza $H_0$, mientras que si $P[d\geq d_0]
> \alpha$, no se rechaza $H_0$.
\end{enumerate}

La expresión concreta de $d$ depende del criterio o, como dice
Fisher, de la imaginación del investigador. Así, el
propio Fisher propone como medidas:
\begin{enumerate}

\item $d = \stackrel{\wedge}{\theta} - \theta_0$

\item $d = |\stackrel{\wedge}{\theta} - \theta_0|$

\item $d = (\stackrel{\wedge}{\theta} - \theta_0)^2$

\item $d= \frac{\stackrel{\wedge}{\theta} -\theta_0}{\sqrt{\sigma^2_{\stackrel{\wedge}{\theta}}}}$

\item $d = \frac{(\stackrel{\wedge}{\theta} - \theta_0)^2}{\sigma^2_{\stackrel{\wedge}{\theta}}} \rightarrow \chi^2_1$, si el estimador utilizado es de máxima verosimilitud.

\end{enumerate}

Al igual que en el enfoque anterior, el nivel de significación es
el que determina la región de aceptación y la de rechazo, para lo
que se calcula el valor $d_c$, tal que
    $$P[d > d_c/H_0] = \alpha$$
de forma que si $d_0>d_c$ se rechaza la Hipótesis Nula, no rechazándose
en caso contrario.

A la probabilidad
    $$p = P[d > d_0/H_0]$$
se le llama {\em nivel crítico\index{Nivel!crítico}} o {\em p-valor }(p-value) del contraste. Cuando $p \geq
\alpha$ no se rechaza $H_0$ mientras que cuando $p < \alpha$ se
rechaza, además, el nivel crítico proporciona una información
adicional de las garantías con las que se rechaza o no la
Hipótesis Nula. Así, si $p$ está próximo a $\alpha$ hay que ser más
prudente en la decisión que se adopte, pudiendo recurrirse, si
fuera posible, a conseguir más información tomando más elementos
muestrales o una nueva muestra. En cambio si $p$ es mucho más
pequeño o mucho más grande que $\alpha$, la decisión adoptada estará
más respaldada.

\begin{ejemplo}
Se considera una población $N(\mu,1)$ de la que se extrae una
m.a.s. de tamaño 16 para realizar el contraste
\begin{myeqnarray*}
\left\{\begin{tabular}{c} $H_{0}: \mu = 1$\\ $H_{1}: \mu \ne 1$
\end{tabular}\right.
\end{myeqnarray*}
de forma que $\overline{x} = 1'5$. Se supone $\alpha = 0'05$.

Como medida de la discrepancia se toma:
\begin{myeqnarray*}
d(\underline{X})& =& \left|\displaystyle \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \right|
\end{myeqnarray*}
es decir, se estiman las diferencias en valor absoluto. Para
calcular el punto crítico, puesto que $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$
sigue una distribución $N(0,1)$, se tiene que;
\begin{myeqnarray*}
P[d>d_c] = \alpha&\Leftrightarrow& P[-d_c < Z <d_c] = 0'05.
\end{myeqnarray*}
Buscando en las tablas resulta que $d_c = 1'96$. Por otra parte, se
tiene que
\begin{myeqnarray*}
d_0 &=& \left| \frac{1'5 -1}{1/\sqrt{16}} \right| = 2
\end{myeqnarray*}
por lo que se está dentro de la región crítica. Es decir, hay que admitir
que la media de la población es distinta de uno, para un nivel de
significación de $0'05$.

El nivel crítico del test es igual a
\begin{myeqnarray*}
P[|Z| > 2] = 2P[Z>2] = 0'046.
\end{myeqnarray*}
Por tanto, hay que mostrar ciertas reservas en la decisión tomada ya
que $0'046$ está muy próximo a $0'05$.
\end{ejemplo}



\begin{ejemplo}
Con los mismos datos del ejemplo anterior, se supone que la
desviación típica de la población es desconocida y que $S_n =
1'2$, deseándose realizar el contraste
\begin{myeqnarray*}
\left\{\begin{tabular}{c} $H_{0}: \mu \leq 1$\\ $H_{1}: \mu > 1.$
\end{tabular}\right.
\end{myeqnarray*}

Ahora preocupa el comportamiento en los valores del parámetro a la
derecha de uno, donde debe concentrarse la región crítica. Como
medida de la discrepancia se toma
\begin{myeqnarray*}
d(\underline{X})& =& \frac{\overline{X}-\mu}{S_n/\sqrt{n-1}}.
\end{myeqnarray*}
Al ser $d\sim t_{n-1}$, el punto crítico viene dado por
\begin{myeqnarray*}
P[d>d_c/H_0] = \alpha &\Leftrightarrow& P[t_{15} > d_c/H_0] = 0'05,
\end{myeqnarray*}
buscando en las tablas se encuentra que
\begin{myeqnarray*}
d_c = 1'7531.
\end{myeqnarray*}

Puesto que
\begin{myeqnarray*}
d_0 = \displaystyle\frac{1'5 - 1}{1'2/\sqrt{15}} = 1'94
\end{myeqnarray*}
debe rechazarse
$H_0$ y concluir que la media de la población es mayor que uno para
un nivel de significación de $0'05$.

El nivel crítico viene dado por
\begin{myeqnarray*}
P[t_{15} > 1'94]& =& 0'036.
\end{myeqnarray*}
\end{ejemplo}



\section{Contraste de la razón de verosimilitudes}

En el apartado anterior, se habló de una metodología basada en una
medida de la discrepancia definida en términos de la diferencia
entre el valor asignado al parámetro en la Hipótesis Nula y el que
se obtiene a partir de un estimador del mismo. En esta ocasión, se
propone un método alternativo donde la medida de
la discrepancia se basa en la comparación del máximo de la
función de verosimilitud evaluada en la Hipótesis Nula y el máximo
absoluto de la misma. Dicha metodología se llama {\em método de razón de
verosimilitudes}.\index{Contraste!razón de verosimilitud}

Dada una población representada por la variable $X$ cuya
distribución depende de un parámetro $\theta$, se desea contrastar
$$\left\{
\begin{tabular}{c}
$H_{0}:  \theta \in \Theta_0$\\ $H_{1}: \theta \in \Theta_1$
\end{tabular}\right.
$$ con $\Theta = \Theta_0\cup \Theta_1$.

Para realizar el contraste se toma una m.a.s., $\underline{X}$, y
se calcula $$\lambda(\underline{X}) = \frac{\displaystyle
\max_{\theta\in\Theta_0} L(\underline{X}, \theta)}{\displaystyle
\max_{\theta\in \Theta} L(\underline{X},\theta)}.$$ Se puede
comprobar que
\begin{enumerate}\item $0\leq \lambda \leq 1$
\item Si existe el estimador máximo--verosímil,
$\stackrel{\wedge}{\theta}$,
entonces $$\lambda(\underline{X}) =
\frac{\displaystyle \max_{\theta\in \Theta_0}L(\underline{X},
\theta)}{L(\underline{X},\stackrel{\wedge}{\theta})}$$
\end{enumerate}
Una vez calculado $\lambda(\underline{X})$ el desarrollo del test
es muy intuitivo; así, se busca un número $k\in (0,1)$, tal que si
$\lambda(\underline{X})\leq k$ se rechaza $H_0$. La desigualdad
$\lambda(\underline{X})\leq k$ determina una región C en el espacio
muestral, tal que si $\underline{x}\in C$ se rechaza $H_0$,
no rechazándose en caso contrario. Para calcular el valor de $k$,
fijado un nivel de significación $\alpha$, se procede como sigue
    $$P[\underline{X}\in C/ \theta \in \Theta_0] =
    P[\lambda(\underline{X})\leq k/\theta \in \Theta_0] \leq
\alpha.$$ Sólo se tiene garantizado que el valor de $k$ queda unívocamente
determinado cuando la Hipótesis Nula es simple.

Como consecuencias intuitivas del contraste, se tiene que:
\begin{enumerate}\item Si se verifica que $\lambda(\underline{x}) = 1 > k$ entonces
no hay evidencias para rechazar $H_0$.
\item El no rechazar $H_0$ depende, en primer lugar, de lo próximo que
se encuentre $\Theta_0$ del estimador máximo--verosímil, caso de
existir, y en segundo lugar, de la curvatura de la función de
verosimilitud, de forma que cuando dicha curvatura es muy pequeña
resulta más difícil rechazar $H_0$, haciéndose menor la capacidad
de discriminación de $\lambda(\underline{X})$.
\end{enumerate}


%ejemplo de la capacidad de discriminación de la razón de verosimilitud
%Ruiz maya 396

En el caso de Hipótesis Nula simple frente a Alternativa simple, el contraste de la razón de
verosimilitudes coincide con el de Neyman--Pearson.
Además, si existe un estadístico suficiente para el parámetro, el contraste de la razón de verosimilitudes es
función de dicho estadístico.

\begin{ejemplo}
Sea una población $N(\mu,1)$. Se quiere realizar el contraste
\begin{myeqnarray*}
\left\{\begin{array}{c} H_{0}: \mu = 1\\ H_{1}: \mu \ne 1
\end{array}\right.
\end{myeqnarray*}
a través del método de razón de verosimilitudes. Para ello se
toma una muestra de tamaño $n$ y se fija el nivel de significación
$\alpha$.

Puesto que el máximo del parámetro para la función de verosimilitud
se alcanza en el estimador máximo--verosímil,
$\stackrel{\wedge}\mu_{MV} = \overline{X}$, y la Hipótesis Nula
sólo contiene el valor $\mu = 1$ del parámetro, la razón de
verosimilitudes viene dada por
\begin{myeqnarray*}
\lambda(\underline{X})
&=&\fra{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\,\, e^{{-\frac{
\sum_{i=1}^n (X_i-1)^2}{2}}}}{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^n\,\,
e^{{-\frac{ \sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{2}}}}
\end{myeqnarray*}
por lo que operando se tiene que
\begin{myeqnarray*}
\lambda{(\underline{X})} &=& e^{-\frac{n(1-\overline{X})^2}{2}}.
\end{myeqnarray*}
La región crítica del contraste viene dada por
  \begin{myeqnarray*}
  e^{-\frac{n(1-\overline{X})^2}{2}}& \leq& k
   \end{myeqnarray*}
donde el valor de $k$ se obtiene imponiendo que
\begin{myeqnarray*}
P[\lambda(\underline{X})\leq k/H_0] &=& \alpha
\end{myeqnarray*}
es decir, tomando logaritmos
\begin{myeqnarray*}
  -\frac{n}{2}(1-\overline{X})^2 &\leq& \log k\\
 (1-\overline{X})^2&\geq& \frac{2}{n} \log k\\
|1-\overline{X}| &\geq& \sqrt{\frac{2}{n} \log k} = K.
\end{myeqnarray*}
Puesto que bajo $H_0$ se verifica que $\overline{X}\sim N(1,\frac{1}{\sqrt{n}})$,
se tiene que fijando $\alpha = 0'05,$
\begin{myeqnarray*}
0'05 &=& P[\lambda(\underline{X})\! \leq \! k/H_0]\!=\!
P[|1-\overline{X}| \! \geq \! K / H_0]\\ &=& P[\overline{X}\! \leq
\! 1 -K / H_0]\! +\! P[\overline{X}\! \geq \! 1 + K / H_0] \\ &=&
P[Z \! \leq \! -\sqrt{n} K] \! +\! P[Z \! \geq \! \sqrt{n} K]
\end{myeqnarray*}
y por la simetría de la Normal
 \begin{myeqnarray*}
 P[Z \leq -\sqrt{n} K\,] &=& 0'025\\
  P[Z \geq \sqrt{n} K\,] &=&0'025
 \end{myeqnarray*}
 de donde $\sqrt{n} K = 1'96$, suponiendo que $n=100$,
$K=0'196$, quedando la región crítica como:
\begin{myeqnarray*}
R_c&=&\{\underline{X}\in \Omega | \,|\overline{X}-1| \geq 0'196\}
\end{myeqnarray*}
o lo que es lo mismo, la región de aceptación sería
  \begin{myeqnarray*}
  R_a: 0'804 < \overline{X} < 1'196.
  \end{myeqnarray*}
\end{ejemplo}



\section{Contrastes en poblaciones Normales}

El procedimiento que se sigue para realizar los contrastes es el de
aplicar si es factible el Lema de Neyman--Pearson. En los casos que
ello no sea posible, se aplica el Contraste de la Razón de
Verosimilitudes y si tampoco esto fuera posible, se aplica la
Metodología de Fisher. No obstante, en poblaciones Normales los
contrastes coinciden en la mayoría de los casos, sea cual sea el
método que se utilice.

\subsection{Contrastes sobre una población}

Sea una m.a.s, $\underline{X}$, extraída de una población
$N(\mu,\sigma)$. La tabla  \ref{tanor}  proporciona las regiones
críticas en función de las distintas situaciones que se pueden
presentar.


\subsection{Contrastes sobre dos poblaciones}

En primer lugar, habría que distinguir si las muestras son
extraídas de poblaciones Normales independientes o por el
contrario, se trata de muestras apareadas.

Supóngase $X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}$ y
$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}$ dos m.a.s. extraídas de dos  poblaciones independientes,
 $N(\mu_1,\sigma_1)$ y
$N(\mu_2,\sigma_2)$, respectivamente. La tabla \ref{tadosnor}
proporciona las regiones críticas en función de las distintas
situaciones que se pueden presentar.


Cuando las dos m.a.s., $X_1,X_2,\cdots,X_{n}$ e $Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n}$,
extraídas de dos  poblaciones $N(\mu_1,\sigma_1)$ y $N(\mu_2,\sigma_2)$,
respectivamente, son apareadas,  se considera la muestra de las diferencias y
se aplican los contrastes para una población.


\section{Contrastes para la proporción}

Para tamaños muestrales grandes se puede aplicar una variante del Teorema de
Linderberg--Levy, que garantiza la convergencia de la Binomial a la Normal,
obteniéndose los contrastes para la proporción o para la diferencia
de proporciones.



\subsection{Contrastes sobre una población}


Tomando como estimador del parámetro $p$ de la Binomial
la proporción muestral $\hat{p}$, basado en una muestra de tamaño
$n$, se obtienen los contrastes de la tabla ~\ref{tapro1}.


\subsection{Contrastes sobre dos poblaciones}


Tomando como estimadores de los parámetros $p_1$ y $p_2$ de
dos poblaciones Binomiales las respectivas proporciones
muestrales, $\hat{p}_1$ y $\hat{p}_2$, basados en muestras de
tamaños $n_1$ y $n_2$, se obtienen los
contrastes de la tabla ~\ref{tapro2}.




\section{Ejercicios propuestos}

\pro El dueño de una fábrica sostiene que su producto tiene una
vida media de $10$ años. Para comprobar tal afirmación se toma una
muestra de $120$ productos comprobándose que su vida media había
sido de $9'6$ años y su desviación típica de $1'2$ años.\spro ¿Qué se
puede decir de la afirmación del fabricante, supuesto que sus
productos siguen una distribución Normal, con un nivel de confianza
del $95\%$? \spro ¿Cómo se vería afectada la conclusión anterior si la
desviación típica hubiese sido de $1'5$?

\pro Se sabe que el promedio de las calificaciones de los
estudiantes en la asignatura de Estadística en los últimos dos años
ha sido de $5'6$. Tras tomar una m.a.s. de 30 estudiantes del presente curso,
se obtuvo un promedio de $6'4$ y una desviación típica de $1'25$. Suponiendo
que se distribuyen normalmente, ¿se puede
afirmar que los alumnos de este año obtuvieron calificaciones por
encima de lo habitual?

\pro Sea $X$ una variable aleatoria distribuida según una
$N(\mu, 3)$. A partir de la muestra
$6,7,8,3,5,6,7,8,9,1,7,6,3,8,9,7$, contraste, con un nivel de
significación de $0'05$, la hipótesis de que la media real sea $5$.


\pro Durante $100$ años la desviación típica de las temperaturas
anuales máximas de una ciudad ha sido de $16º$F. Pero en los
últimos 12 años se estuvo tomando la temperatura máxima los días
uno de cada mes y dio una desviación típica de $10º$F. Supuesto que
la temperatura se distribuya normalmente, ¿se puede afirmar con un
$95\%$ de fiabilidad que la variabilidad de las temperaturas ha disminuido?


\pro El fabricante de un determinado aparato de medida garantiza
que éste tiene una desviación típica de $0'25$ unidades.
Transcurrido un periodo de $9$ meses, una muestra de 20 medidas
proporcionó una desviación típica de $0'32$ unidades. ¿Puede
afirmarse con un nivel de significación del $5\%$ que el aparato de
medida está estropeado? ¿Y con un $1\%$ de significación?

\pro Para averiguar si difieren los niveles de una determinada
sustancia química en dos grupos de personas, se toman muestras
con los siguientes resultados:
$$
{
\def\arraystretch{1.2}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline \mbox{Muestra}& n&\overline{X}&S\\ \hline
    \mbox{Vitaminas}&31&8'5&5'5\\
    \mbox{Normal}&25&4'8&5'1\\ \hline
\end{array}
}
$$
Suponiendo normalidad, contraste tal hipótesis a un nivel de significación de $0'05$.


\pro Se pretende estudiar si existe diferencia, en lo que a
eficacia se refiere, entre el paracetamol y un nuevo producto, $Y$,
en el alivio de determinados síntomas. Para ello, se seleccionó dos
grupos de $10$ y $16$ personas y se midió el tiempo medio que
tardaban los enfermos en sentirse bien. Los resultados indicaron
que mientras el primer grupo tardaba $15'8$ minutos de media con una
desviación típica de $7'8$ minutos, el segundo lo hacía en $13'2$
minutos de media y desviación típica de $6'6$ minutos. Si se supone
normalidad en ambos casos, realice el contraste adecuado para un
nivel de significación de $0'05$.


\pro De dos poblaciones Normales se extraen dos muestras aleatorias
$\underline{X}$ e $\underline{Y}$, de tamaño $121$ y $41$ y
cuasivarianzas muestrales $70'2$ y $76'8$, respectivamente. Realice
un contraste para averiguar si existen evidencias para pensar que
las dos muestras procedan de poblaciones con varianza diferente, a
un nivel de significación del $10\%$.


\pro Se sabe que ciertas piezas de una máquina tienen una vida
media de $1940$ horas. Al variar uno de sus componentes se observa
que una muestra de $100$ piezas ha dado una duración media de
$2000$ horas y una desviación típica de $150$ horas. ¿Se puede
afirmar a un nivel de significación del $10\%$ que el componente
modificado ha supuesto un cambio significativo en la duración media
de las piezas?


\pro En una encuesta realizada a 200 habitantes de una población
$A$, $95$ personas afirmaban que preferían la playa a la
montaña para pasar la vacaciones. La misma encuesta realizada a 150 habitantes
de otra población $B$, dio como resultado que $100$
personas preferían ir a la playa. ¿Puede pensarse que los
habitantes de la población $B$ son más aficionados a la playa
que los de la población $A$? Contrástese dicha hipótesis al $99\%$.


\pro Con el propósito de saber si debe poner neumáticos diferentes
en los trenes delanteros (D) y traseros (T) de sus vehículos, un fabricante
ha medido el desgaste producido en $20$ de ellos después de
15000 Kms, obteniendo los siguientes resultados:
\begin{center}\tabcolsep .50ex
\begin{tabular}{l|cccccccccc}
D&$23'4$&$21'7$&$18$&$23'2$&$16'8$&$19'1$&$18'7$&$19'8$&$25$&$21'5$
\\ \hline
T&$22'8$&$24'9$&$18$&$22'7$&$22'3$&$18'3$&$22'1$&$23'9$&$17'4$&$19$\\
\end{tabular}
\end{center}
\spro Suponiendo normalidad, ¿confirman los datos, con un nivel
de significación de $0'05$, la hipótesis de
que el desgaste medio en el tren delantero es de $21$
unidades?\spro ¿Se puede afirmar que los neumáticos sufren el
mismo desgaste en los dos trenes?


\pro El número de defectos congénitos de una población se
distribuye según una Poisson de parámetro $\lambda$. Se pretende
realizar el contraste
$$\left\{
\begin{tabular}{c}
$H_{0}: \lambda = 0'3$\\ $H_{1}: \lambda= 0'2$
\end{tabular}\right.
$$ para lo que se toma una muestra aleatoria de $100$ individuos de
la población. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
$$
\begin{tabular}{l|cccccc}
\mbox{Defectuosos}&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$\\ \hline
\mbox{Frecuencias}&$84$&$9$&$3$&$2$&$1$&$1$\\
\end{tabular}
$$
A la vista de tales resultados, ¿qué conclusión puede obtenerse
con un nivel de significación del $0'025$?


\pro Se sabe que el porcentaje de curación espontánea de
una determinada enfermedad es del $30\%$. Para
asegurar la eficacia de un nuevo tratamiento se selecciona
aleatoriamente una muestra de $100$ enfermos y se les somete a tal
tratamiento, obteniéndose que el porcentaje de personas curadas fue
del $45\%$. ¿Se puede afirmar la eficacia del mencionado
tratamiento con una confianza del $95\%$?


\pro En un estudio realizado sobre las tendencias de los fumadores
se seleccionó de manera aleatoria una muestra de $400$ hombres de
los cuales $190$ eran fumadores y otra muestra aleatoria de $800$
mujeres, de las que fumaban $300$. ¿Se puede afirmar que la
proporción de fumadores es la misma en hombres que en mujeres con
una confianza del $90\%$?


\pro A partir de una m.a.s. de tamaño $36$ extraída de una
población Normal con desviación típica $5$ se desea realizar el
siguiente contraste:
$$\left\{
\begin{tabular}{c}
$H_{0}: \mu = 14$\\ $H_{1}: \mu = 17$
\end{tabular}\right.
$$

Aplicando la regla de decisión,
$$\left\{
\begin{tabular}{cl}
si \, $\overline{x} \leq 15$  & \mbox{no se rechaza H$_{0}$}\\ si
\, $\overline{x} > 15$ & \mbox{se rechaza H$_{0}$ }
\\
\end{tabular}\right.
$$
\spro Calcule el nivel de significación, $\alpha$. \spro Obtenga
la probabilidad de cometer un error del tipo II. \spro Calcule la
potencia del contraste.


\pro Una determinada empresa le propone al director de una fábrica
un nuevo método que, supuestamente, reduce el tiempo empleado en el
montaje de uno de sus productos. Con el propósito de comparar tal
método con el empleado habitualmente, seleccionó aleatoriamente a
siete de sus empleados para que llevasen a cabo el montaje con los
dos sistemas y anotó los tiempos empleados en el montaje,
obteniendo los siguientes resultados:
$$
\begin{array}{l|ccccccc}
\mbox{Trabajador}&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline \mbox{Método
habitual}&38&32&41&35&42&32&45\\ \mbox{Método
nuevo}&30&32&34&37&35&26&38\\
\end{array}
$$

Supuesto que el tiempo de montaje sigue una distribución Normal,
¿se puede afirmar que
efectivamente el nuevo método reduce el tiempo en más de dos
minutos?



\newpage
\ \vfill

\section{Tablas de contrastes de hipótesis}

\begin{table}[htb]
$$
{
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{||l|c||}
\hline
\mbox{Hipótesis}&\mbox{Región Crítica}\\ \hline
\oldhip{p=p_0}{p\ne p_0}&|\hat{p}-p_0|\ge Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\\ \hline
\oldhip{p=p_0}{p < p_0}&\hat{p}-p_0\le Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\\ \hline
\oldhip{p=p_0}{p > p_0}&\hat{p}-p_0\ge Z_{1-\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\\ \hline
\end{array}
}
$$
\caption{Contrastes sobre la proporción}
\label{tapro1}
\end{table}

\begin{table}[htb]
$$
{
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{||l|c||}
\hline
\mbox{Hipótesis}&\mbox{Región Crítica}\\ \hline
\oldhip{p_1 = p_2}{p_1\ne p_2}&|\hat{p}_1-\hat{p}_2|\ge Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\\ \hline
\oldhip{p_1 = p_2}{p_1 < p_2}&\hat{p}_1-\hat{p}_2 \le Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\\ \hline
\oldhip{p_1 = p_2}{p_1 > p_2}&\hat{p}_1-\hat{p}_2 \ge Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\\ \hline
\end{array}
}
$$
\caption{Contrastes sobre dos proporciones}
\label{tapro2}
\end{table}

\vfill

\begin{table}[htb]
$$
\arraycolsep .5ex
\tabcolsep .5ex
\def\arraystretch{1.7}
\begin{array}{||l|c|c||}
\hline \mbox{Hipótesis}&\mbox{Estadístico}&\mbox{Región crítica}\\ \hline

\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Contrastes sobre $\mu $ con $\sigma$ conocida}}\\ \hline

\oldhip{\mu=\mu_0}{\mu\neq\mu_0}&
    Z=\frac{\med{x}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\quad\sim\quad N(0,1)&
    |Z|\ge \perb{Z}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu=\mu_0}{\mu < \mu_0}&&Z\leq -\cold{Z}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu=\mu_0}{\mu > \mu_0}&&Z\geq \cold{Z}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Contrastes sobre $\mu $ con $\sigma$ desconocida}}\\ \hline
\oldhip{\mu=\mu_0}{\mu\neq\mu_0}&
    t=\frac{\med{x}-\mu_0}{S_c}\sqrt{n}\quad\sim\quad t_{n-1}&
    |t|\ge \cdd{t}{n-1}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu=\mu_0}{\mu < \mu_0}&&t\le -\cdd{t}{n-1}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu=\mu_0}{\mu > \mu_0}&&t\ge \cdd{t}{n-1}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Contrastes sobre $\sigma^2 $ con $\mu$ conocida}}\\ \hline
\oldhip{\sigma^2=\sigma_0^2}{\sigma^2\neq\sigma_0^2}&
    \chi^2=\frac{nS^2_\mu}{\sigma_0^2}\quad\sim\quad \chi^2_n&
    \stack{\chi^2\leq \pda{\chi^2}{n}\quad\mbox{\sf U}}{\chi^2\geq \pdb{\chi^2}{n}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\sigma^2=\sigma_0^2}{\sigma^2 < \sigma_0^2}&&\chi^2\leq \cdi{\chi^2}{n}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\sigma^2=\sigma_0^2}{\sigma^2 > \sigma_0^2}&S^2_{\mu}=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}&\chi^2\geq \cdd{\chi^2}{n}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Contrastes sobre $\sigma^2 $ con $\mu$ desconocida}}\\ \hline
\oldhip{\sigma^2=\sigma_0^2}{\sigma^2\neq\sigma_0^2}&
    \chi^2=\frac{nS^2}{\sigma_0^2}\quad\sim\quad \chi^2_{n-1}&
    \stack{\chi^2\leq \pda{\chi^2}{n-1}\quad\mbox{\sf U}}{\chi^2\geq \pdb{\chi^2}{n-1}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\sigma^2=\sigma_0^2}{\sigma^2 < \sigma_0^2}&&\chi^2\leq \cdi{\chi^2}{n-1}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\sigma^2=\sigma_0^2}{\sigma^2 > \sigma_0^2}&&\chi^2\geq \cdd{\chi^2}{n-1}\\ \hline
%
\end{array}$$

\caption{Contrastes sobre una población Normal}
\label{tanor}
\end{table}
%\end{center}

\begin{table}[htb]
\arraycolsep .3ex
\tabcolsep .3ex
\def\arraystretch{1.7}
$$\begin{array}{||l|c|c||}
\hline \mbox{Hipótesis}&\mbox{Estadístico}&\mbox{Región crítica}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Diferencias de medias con varianzas conocidas}}\\ \hline
%
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2\neq\delta_0}&
    \parbox[t][0pt]{29ex}{$Z=\frac{\med{x}-\med{y}-\delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}} \quad\sim\quad N(0,1)$}&
    |Z|\ge \perb{Z}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2 < \delta_0}&&Z\leq -\cold{Z}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2 > \delta_0}&&Z\geq \cold{Z}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Diferencias de medias con varianzas desconocidas e iguales}}\\ \hline
%
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2\neq\delta_0}&
    \parbox[t][0pt]{29ex}{$t=\frac{\med{x}-\med{y}-\delta_0}{\sqrt{\frac{n_1S_1^2+n_2S_2^2}{n_1+n_2-2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$}&
   |t| \ge \pdb{t}{n_1+n_2-2}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2 < \delta_0}&&t\leq -\cdd{t}{n_1+n_2-2}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2 > \delta_0}&t\quad\sim\quad t_{n_1+n_2-2}&t\geq \cdd{t}{n_1+n_2-2}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Diferencias de medias con varianzas desconocidas y distintas}}\\ \hline
%
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2\neq\delta_0}&
   \parbox[c][6ex]{29ex}{\raisebox{-5ex}{$t=\frac{\med{X}-\med{Y}-\delta_0}{\sqrt{\frac{S_{c_1}^2}{n_1}+ \frac{S_{c_2}^2}{n_2}}}\quad\sim\quad t_{\nu}$}}&
   |t| \ge \pdb{t}{\nu}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2 < \delta_0}&
    \parbox[c][6ex]{31ex}{\raisebox{-13ex}{$\nu\! =\! \frac{{\left(\frac{S_{c_1}^2}{n_1}+\frac{S_{c_2}^2}{n_2}\right)}^2}{{\left(\frac{S_{c_1}^2}{n_1}\right)}^2\!\! \frac{1}{n_1+1} +{\left(\frac{S_{c_2}^2}{n_2}\right)}^2\!\! \frac{1}{n_2+1}}\! -\! 2$}}&
    t\leq -\cdd{t}{\nu}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\mu_1-\mu_2=\delta_0}{\mu_1-\mu_2 > \delta_0}&
    \parbox[c][6ex]{1ex}{}&t\geq \cdd{t}{\nu}\\ \hline
%
\multicolumn{3}{||c||}{\mbox{\bf Igualdad de varianzas con medias desconocidas}}\\ \hline
%
\oldhip{\sigma_1^2=\sigma_2^2}{\sigma_1^2\neq\sigma_2^2}&
   {\cal F}=\frac{S^2_{c_1}}{S^2_{c_2}}\quad\sim\quad {\cal F}_{n_1-1,n_2-1}&
   \stack{{\cal F}\! \le \! \pda{{\cal F}}{n_1-1,n_2-1}\ \mbox{\sf U}}{{\cal F}\! \ge \! \pdb{{\cal F}}{n_1-1,n_2-1}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\sigma_1^2=\sigma_2^2}{\sigma_1^2 < \sigma_2^2}&&{\cal F}\! \le \! \cdi{{\cal F}}{n_1-1,n_2-1}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\oldhip{\sigma_1^2=\sigma_2^2}{\sigma_1^2 > \sigma_2^2}&&{\cal F}\! \ge\! \cdd{{\cal F}}{n_1-1,n_2-1}\\ \hline
\end{array}$$
\caption{Contrastes sobre dos poblaciones Normales independientes}
\label{tadosnor}
\end{table}
%\end{center}